Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（10，0）．一条抛物线经过O，A，B三点，直线AB的表达式为，且与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，求出面积S取得最大值时点P的坐标；

（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF，在平移过程中，以A，D，Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当S取得最大值16时，点P的坐标为（6，6）；（3）以A，D，Q为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E坐标为：E1（21，），E2（15，），E3（），E4（16，﹣3）．

【解析】

（1）将点A的坐标（10，0）．O（0，0）代入抛物线，解出b，c，再代回，即可得抛物线的解析式；

（2）先将直线与抛物线解析式联立，解出点B坐标，再设出点P和点G坐标，用相关点的横纵坐标表示线段长河高，从而可得面积的表达式，再从函数角度即可得解；

（3）利用勾股定理分别表示出AD2，AQ2，QD2，再分AD＝AQ，AD＝QD，AQ＝QD，分别来求解，从而得点D坐标，再将其横坐标加10，纵坐标不变即可得点E的坐标．

解：（1）∵抛物线经过O，A，B三点，点A的坐标为（10，0）．O（0，0），

∴

∴，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x．

（2）由得﹣x2+x＝，

∴x＝2或x＝10，

∴点B（2，4）．

如图2，作PC⊥x轴于C点，交AB于点G，

∵动点P在抛物线上，直线AB的表达式为，

∴设P（m，﹣m2+m），G（m，），

∴PG＝﹣m2+3m﹣5，

∴S＝PG（xA﹣xG）+PG（xG﹣xB）＝（﹣m2+3m﹣5）（10﹣2）＝﹣m2+12m﹣20＝﹣（m﹣6）2+16，

∴当m＝6时，S最大＝16，

∴P（6，6）

答：当S取得最大值时点P的坐标为（6，6）．

（3）∵抛物线的对称轴为x＝5，点Q在直线上，

∴Q点坐标为（5，），D点在过O点且平行于AB的直线y＝上，设D（a，），

∴AD2＝（10﹣a）2+a2，AQ2＝25+＝，QD2＝（a﹣5）2+

①当AD＝AQ时，（10﹣a）2+a2＝，解得a1＝11，a2＝5，

∴D1（11，），D2（5，﹣）；

∴E1（21，），E2（15，-）；

②当AD＝QD时，（10﹣a）2+a2＝（a﹣5）2+，解得a＝，

∴D3（，），E3（，）；

③当AQ＝QD时，＝（a﹣5）2+，解得a＝6，

∴D4（6，﹣3），E4（16，﹣3）

综上所述，以A，D，Q为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E坐标为：E1（21，），E2（15，），E3（，），E4（16，﹣3）．