Question

18．已知抛物线的顶点是C（0，m）（m＞0，m为常数），并经过点（2m，2m），点D（0，2m）为一定点．
（1）求抛物线的解析式；（用含字母m的代数式表示）
（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，试探究PD与PH的大小关系，并说明理由；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S△ABD=4$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可设出抛物线的解析式，再把（2m，2m）坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）设P（x，y），分别过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，结合条件可分别用m表示出PD和PH，可得到PD=PH；
（3）过B作BE⊥xAF⊥y轴，结合（2）的结论可得到B、C分别为OA、OD的中点，可求得B点坐标，从而可表示出△ABD和△OBD的面积，整理可求得m的值．

解答 解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=kx²+m，
∵点（2m，2m）在抛物线上，
∴4m²k+m=2m，解得k=$\frac{1}{4m}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4m}$x²+m；
（2）PD=PH．理由如下：
设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，垂足分别为H、G，连接PD，如图1，

在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2m）²+x²=y²-4my+4m²+x²，
又P点在抛物线上，
∴y=$\frac{1}{4m}$x²+m，
∴x²=4m（y-m）=4my-4m²，
∴PD²=y²-4my+4m²+4my-4m²=y²=PH²，
∴PD=PH；
（3）过B作BE⊥x轴，过A作AF⊥y轴，垂足分别为E、F，连接BC，过B作BR⊥y轴于点R，如图2，

由（2）的结论：BE=BD，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2BO，
∴B是OA中点，且C是OD的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$DA=$\frac{1}{2}$AF=BE=BD，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=m+$\frac{1}{2}$m=$\frac{3}{2}$m，
∴B点纵坐标是$\frac{3}{2}$m，又点B在抛物线上，
∴$\frac{3}{2}$m=$\frac{1}{4m}$x²+m，整理可得x²=2m²，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{2}$m，
∴B点坐标为（$\sqrt{2}$m，$\frac{3}{2}$m），
又AO=2PB．
∴S_△ABD=S_△OBD=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×2m×$\sqrt{2}$m=4$\sqrt{2}$，
∴m²=4，
∵m＞0，
∴m=2．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、三角形面积等知识点．在（1）中注意关于y轴对称的抛物线的解析式的形式，在（2）中用m分别表示出PD和PH是解题的关键，在（3）中用m表示出B点的坐标是解题的关键．本题考查知识均为基础知识，难度适中．