Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（ ）

A.8B.10C.12D.16

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5，再根据正弦的定义计算出EF=3，则AE=4，DE=8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE=16，所以AB=20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．

解：连接BD，如图，

∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
而∠DCA=∠ABD，
∴∠DAC=∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE=90°，
而∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ABD=∠ADE，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FD=FA=5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB= ，
∴EF=3，
∴AE= =4，DE=5+3=8，
∵∠ADE=∠DBE，∠AED=∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE=AE：DE，即8：BE=4：8，
∴BE=16，
∴AB=4+16=20，
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB= ，
∴BC=20×=12．
故选：C．