Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．

如：P（1，4）的“2属派生点为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）；

（1）点P（-1，3）的“2属派生点”P′的坐标为______；

（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（-1，3），则点P的坐标为______．

（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，线段PP′的长度等于线段OP的长度，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）（5，1）；（2）（，）；（3）k=±1．

【解析】

（1）根据“k属派生点”计算可得；

（2）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；

（3）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．

（1）点P（-1，3）的“2属派生点”P′的坐标为（-1+3×2，-1×2+3），即（5，1），

故答案为：（5，1），

（2）设P（x，y），

依题意，得方程组：，

解得，

∴点P（，）．

故答案是：（，）．

（3）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，

∴b=0，a＞0．

∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），

∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，

∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，

根据题意，有|PP'|=|OP|，

∴|ka|=a，

∵a＞0，

∴|k|=1．

从而k=±1．