Question

如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（8，12），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，点E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（5，12）．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）坐标系内是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据折叠性质可知FG=AF=5，而FB=AB-AF=3，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；
（2）作EK⊥BC于K，通过求得△FBG∽△GKE，可求出AE，从而求得E的坐标，又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式；
（3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为M为动点，A、E、F已经确定，所以可从此入手，按照EF、AE、AF分别为对角线的思路，确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形的性质即可求得M点坐标．

解答：解：（1）由已知得，FG=AF=5，FB=3
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=90°
BG=

FG2-FB2

=

52-32

=4，
∴CG=BC-BG=12-4=8
∴G点的坐标为（8，8）；
 
（2）如图1，作EK⊥BC于K，
∵∠EGF=∠OAB=90°，
∴∠FGB+∠EGK=90°，
∴∠FGB=∠GEK，
∵∠B=∠EKG=90°，
∴△FBG∽△GKE，
∴

EG

FG

=

EK

BG

，即

EG

5

=

8

4

，
∴EG=10，
∴AE=EG=10，
∴OE=OA-AE=2，
∴E（0，2）
设直线EF的解析式是y=kx+b
又F点的坐标是（5，12）
∴

b=2 5k+b=12

，解得k=2，b=2；
∴直线EF的解析式为y=2x+2；
（3）若以A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
①EF为平行四边形的对角线，如图2①所示．


∵以A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形AEM₁F是平行四边形，
又∵∠OAB=90°，
∴四边形是矩形，
∴M（5，2）；
②AE为平行四边形的对角线，如图2②所示．

∵四边形AM₂EF是平行四边形，
∴M₂E=AF=5，M₂E∥AF，
∴M₂（-5，2）；
③AF为平行四边形的对角线，如图2③所示．

∵四边形AM₃FE是平行四边形，
∴AE=M₃F=10，M₃F∥AE，
∴M₃（5，22）；
综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M₁（5，2），M₂（-5，2），M₃（5，22）．

点评：本题是一次函数的综合题，涉及到的知识点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形性质、勾股定理，三角形相似的判定和性质等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．