Question

【题目】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．

（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；

（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；

（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）；（3）AD的长为6和．

【解析】

（1）证明△ADC∽△DCE，利用ACCE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝105a，即可求解；

（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，即可求解；

（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．

（1）设∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，

∵cosα＝，

∴sinα＝，

过点A作AH⊥BC交于点H，

AH＝ACsinα＝6＝DF，BH＝2，

如图1，设：FC＝4a，

∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，

∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，

∴△ADC∽△DCE，

∴ACCE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝105a，

解得：a＝2或（舍去a＝2），

AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；

（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，

CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，

即：CD2＝36+（8﹣x）2，

由（1）得：ACCE＝CD2，

即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，

（3）①当DF＝DC时，

∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，

∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，

∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，

即：10＝x2﹣x+10+x，

解得：x＝6；

②当FC＝DC，

则∠DFC＝∠FDC＝α，

则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，

在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝，

即：5x+8y＝80，

将上式代入①式并解得：x＝；

③当FC＝FD，

则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，

故：该情况不存在；

故：AD的长为6和．