Question

如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交于⊙O于点E．
（1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系；
（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,正方形的判定

专题：

分析：（1）连接BA，如图1，先根据切线的性质得∴∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和得到∠APB+∠AOB=180°，而∠AOB+∠BOC=180°，则∠BOC=∠APB，利用三角形外角性质得∠BOC=2∠BAC，所以∠APB=2∠BAC，
（2）由PA、PB为⊙O的切线得∠OAP=∠OBP=90°，所以当OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形，加上OA=OB，于是可判断四边形PAOB为正方形，根据正方形的性质得OP=

2

OA=4

2

；由此得到这样的点P有无数个，当点P在以O点为圆心，4

2

为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形．

解答：解：（1）连接BA，如图1，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
而∠AOB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠BOC=2∠BAC，
∴∠APB=2∠BAC；
（2）存在．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形，
而OA=OB，
∴四边形PAOB为正方形，
∴OP=

2

OA=4

2

；
这样的点P有无数个，当点P在以O点为圆心，4

2

为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的判定．