【题目】如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,且线段OA、OC(OA>OC)是方程x2﹣18x+80=0的两根,将边BC折叠,使点B落在边OA上的点D处.
(1)求线段OA、OC的长;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标及折痕CE的长;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:方程x2﹣18x+80=0,
因式分解得:(x﹣8)(x﹣10)=0,
即x﹣8=0或x﹣10=0,
解得:x1=8,x2=10,
∴OA=10,OC=8
(2)
解:由折叠可知:△EBC≌△EDC,∴EB=ED,
∴CB=CD,又矩形OABC,∴AB=OC=8,
∴CB=CD=OA=10,又OC=8,
在Rt△OCD中,根据勾股定理得:OD= =6,
∴AD=OA﹣OD=10﹣6=4,
又BE+EA=AB=8,且EB=ED,
∴DE+EA=8,即DE=8﹣EA,
在Rt△AED中,设AE=x,则DE=8﹣x,又AD=4,
根据勾股定理得:(8﹣x)2=x2+16,
整理得:16x=48,
解得:x=3,
则E的坐标为(10,3),又C(0,8),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
将C与E坐标代入得: ,
解得:k=﹣ ,b=8,
则直线CE解析式为y=﹣ x+8,
令y=0求出x=16,即P坐标为(16,0);
此时BE=BA﹣EA=8﹣3=5,又BC=OA=10,
在Rt△BCE中,根据勾股定理得:
CE= =5
(3)
解:存在.满足条件的直线l有2条:y=﹣2x+12,y=2x﹣12.
如图2:
【解析】(1.)利用式子相乘法把方程左边分解为两一次因式积的形式,然后根据两数相乘积为0,两数中至少有一个为0,转化为两个一元一次方程,分别求出方程的解得到原方程的解,根据OA大于OC,即可得到OA及OC的长;(2.)由折叠可知三角形EBC与三角形EDC全等,根据全等三角形的对应边相等得到EB=ED,CB=CD,又矩形ABCD对边相等,从而得到CD的长,再由OC的长,利用勾股定理求出OD的长,进而求出AD的长,在直角三角形AED中,设EA=x,则DE=8﹣x,再由AD的长,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到AE的长,即为E的纵坐标,而OA的长即为E的横坐标,确定出E的坐标,同时得到BE的长,再由BC的长,在直角三角形BCE中,利用勾股定理求出折痕CE的长;
(3.)存在,应该有两条如图:
①直线BF,根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出两三角形相似,那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式.
②直线DN,由于∠FCO=∠NDO,那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的长求出ON的值,即可求出N点的坐标,然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作CE⊥AC,且使AE∥BD,连结DE.
(1)求证:AD=CE.
(2)若DE=3,CE=4,求tan∠DAE的值.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.请在给出的5×5的正方形网格中,以格点为顶点,画出两个三角形,一个三角形的长分别是 、2、
,另一个三角形的三边长分别是
、2
、5
.(画出的两个三角形除顶点和边可以重合外,其余部分不能重合)
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点的位置如图所示,将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
利用网格点画图:
(1)画出△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD;
(3)画出BC边上的高线AE;
(4)△A′B′C′的面积为 .
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【题目】探究规律:如图,已知直线m∥n,A、B为直线n上的两点,C、P为直线m上的两点.
(1)请写出图中面积相等的各对三角形: .
(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么无论P点移动到任何位置总有:与△ABC的面积相等;理由是: .
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