【题目】如图,线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC,点B对应点C,在∠BAC的内部有一点P,PA=8,PB=4,PC=4,则线段AB的长为_____.
【答案】4
【解析】
将△ABP绕点A逆时针旋转120°,得到△ACD,连接PD,过点A作AH⊥PD于H,利用等腰三角形的性质及通过解直角三角形求出AH,PH,DH,PD的长,利用勾股定理的逆定理证明△PDC为直角三角形,再证△DMC∽△HMA,其对应边相等,可推出AM=CM=AC,HM=DM=HD=2,在Rt△DMC中,通过勾股定理求出CM的长,可推出AB=AC=2CM=4.
如图,将△ABP绕点A逆时针旋转120°,得到△ACD,连接PD,过点A作AH⊥PD于H,
则△ABP≌△ACD,∠PAD=120°,
∴PA=DA=8,PB=DC=4,∠APH=∠ADH=30°,
∴AH=AP=4,
∴PH=DH==4,
∴PD=2PH=8,
在△PDC中,
PD2+CD2=(8)2+42=208,
PC2=(4)2=208,
∴PD2+CD2=PC2,
∴△PDC为直角三角形,且∠PDC=90°,
∴∠AHD=∠PDC,
∴AH∥DC,
∴△DMC∽△HMA,
∵DC=AH=4,
∴AM=CM=AC,HM=DM=HD=2,
∴在Rt△DMC中,
CM==2,
∴AB=AC=2CM=4,
故答案为:4.
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【题目】△ABC中,∠ACB=90°,tanB=,AB=5,点O为边AB上一动点,以O为圆心,OB为半径的圆交射线BC于点E,以A为圆心,OB为半径的圆交射线AC于点G.
(1)如图1,当点E、G分别在边BC、AC上,且CE=CG时,请判断圆A与圆O的位置关系,并证明你的结论;
(2)当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2),设OB=x,MN=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)设圆A与边AB的交点为F,联结OE、EF,当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时,求圆O的半径长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若cos∠BAD=,BE=12,求OE的长;
(3)求证:BC2=2CDOE.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AD,过点A作直线MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的长.
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【题目】解不等式组;请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得____________________;
(Ⅱ)解不等式②,得____________________;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为_______________________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和B,点C、D的坐标分别是(0,﹣1)和(4,﹣3),边AD,BC分别交x轴于点E、F.
(1)填空:正方形的边长为 ;
(2)求反比例函数y=的解析式;
(3)若点M是直线BC上一动点,作MN∥x轴,交反比例函数y=的图象于点N,过点M,N分别向x轴作垂线,垂足分别为P、Q,得到矩形MPQN,设点M的横坐标为a.
①填空:点N的坐标为 ;(用含a的代数式表示)
②填空:若矩形MPQN的面积为6,则点M的横坐标为 .
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【题目】某景区在同一线路上顺次有三个景点A,B,C,甲、乙两名游客从景点A出发,甲步行到景点C;乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B,在B处停留一段时间后,再步行到景点C.甲、乙两人离景点A的路程s(米)关于时间t(分钟)的函数图像如图所示.
(1)甲的速度是 米/分钟;
(2)当20≤t ≤30时,求乙离景点A的路程s与t的函数表达式;
(3)乙出发后多长时间与甲在途中相遇?
(4)若当甲到达景点C时,乙与景点C的路程为360米,则乙从景点B步行到景点C的速度是多少?
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【题目】 某单位需要购买一些钢笔和笔记本.若购买2支钢笔和1本笔记本需42元,购买3支钢笔和2本笔记本需68元.
(1)求买一支钢笔要多少钱?
(2)若购买了钢笔和笔记本共50件,付款可能是810元吗?说明理由.
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【题目】如图,在菱形纸片ABCD中,AB=4,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AB、AD上.则sin∠EFG的值为________.
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