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【题目】ABC中,∠ACB90°,tanBAB5,点O为边AB上一动点,以O为圆心,OB为半径的圆交射线BC于点E,以A为圆心,OB为半径的圆交射线AC于点G

(1)如图1,当点EG分别在边BCAC上,且CECG时,请判断圆A与圆O的位置关系,并证明你的结论;

(2)当圆O与圆A存在公共弦MN(如图2),设OBxMNy,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;

(3)设圆A与边AB的交点为F,联结OEEF,当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时,求圆O的半径长.

【答案】(1)A与圆O外切,理由见解析;(2)y(x5)(3)当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时,圆O的半径长为5

【解析】

1)由三角函数得出AC3BC4,作OPBEP,则PBPEOPAC,得出,设PBPEx,则CGCE42x,得出OBxAGACCG2x1,得出方程,得出xOB,求出OAABOB2OB,即可得出结论;

2)连接OM,由相交两圆的性质得出OAMN垂直平分,∠ODM90°,DMMNyADOD5x),由勾股定理得出方程,整理即可;

3)分三种情况:当圆O与圆A外切,OEOF时,圆O与圆A外切,圆O的半径长OB

OEFE时,圆O与圆A相交,作EHOFH,则OFOHOB,证明△BEH∽△BAC,得出EH,在RtOEH中,由勾股定理得出方程,解方程即可;

OA重合时,OEOFOEAB5;即可得出结论.

(1)A与圆O外切,理由如下:

∵∠ACB90°,tanBAB5,∴AC3BC4

OPBEP,如图1所示:

PBPEOPAC

PBPEx,则CGCE42x

解得:x

OB

OAABOB52OB

∴圆A与圆O外切;

(2)连接OM,如图2所示:

∵圆O与圆A存在公共弦MN

OAMN垂直平分,

∴∠ODM90°,DM

由勾股定理得:DM2OM2OD2,即

整理得:y23x2+10x25

y

(3)分三种情况:

当圆O与圆A外切,OEOF时,圆O与圆A外切,圆O的半径长OB

OEFE时,圆O与圆A相交,如图3所示:

EHOFH,则OFOHOB

∵∠B=∠B,∠EHB90°=∠C

∴△BEH∽△BAC

EH

RtOEH中,由勾股定理得:OE2OB2

解得:OB

OA重合时,OEOFFB重合,OEAB5

综上所述,当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时,圆O的半径长为5

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