【题目】综合题
(1)【问题提出】如图1.△ABC是等边三角形,点D在线段AB上.点E在直线BC上.且∠DEC=∠DCE.求证:BE=AD;
(2)【类比学习】如图2.将条件“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变.判断线段AB,BE,BD之间的数量关系,并说明理由.
(3)【扩展探究】如图3.△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=120°,点D在线段AB的反向延长线上,点E在直线BC上,且∠DEC=∠DCE,【类比学习】中的线段AB、BE、BD之间的数量关系是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出线段AB,BE,BD之间的数量.
【答案】
(1)证明:作DF∥BC交AC于F,如图1所示:
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,
∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=DF,
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,
在△DBE和△CFD中, ,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD
(2)解:EB=AB+BD;理由如下:
作DF∥BC交AC的延长线于F,如图2所示:
同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,
又∵∠DBE=∠DFC=60°,
∴在△DBE和△CFD中, ,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD,
∴EB=AB+BD
(3)解: BE=3DB﹣3AB.
理由:作DF∥BC交CA的延长线于F,如图3所示,
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC+∠DCE=180°,
∵△ABC是等腰三角形,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ADF=∠AFD=∠ABC,
∵∠DEC=∠DCE,
∴DE=DC,∠FDC+∠DEC=180°,
∵∠DEC+∠DEB=180°,
∴∠FDC=∠DEB,
在△DBE和△CFD中, ,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,DB=CF,
∵CF=AC+AF=AB+AF,
∴DB=AB+AF,
过点A作AG⊥DF于G,
∵AF=AD,
∴DF=2FG,
在Rt△AFG中,∠AFG=90°﹣∠FAG=90°﹣ ∠BAC=30°,
∴FG= AF,
∴EB=DF=2FG= AF,
∴AF= EB
∴DB=AB+ BE,
即: BE=3DB﹣3AB.
【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,首先证明△ABC是等边三角形,然后再由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,首先证明△DBE≌△CFD,从而可得到EB=DF,即可得出结论;
(3)作DF∥BC交CA的延长线于F,首先证明△DBE≌△CFD,从而可得到EB=DF,再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图有A、B、C三地依次在一条笔直的公路上,A、B两地相距40km,一辆甲车以40km/h的速度从B地到C地;同时一辆乙车以80km/h的速度从B地开往A地,到达A地后,然后以120km/h的速度开往C地,两车在各段内均匀速行驶,图中线段EF与折线EMN分别表示甲、乙两车距C地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)写出点M的坐标为_______;点E的纵坐标的意义是________.
(2)请直接写出n,b的值,并求出线段EF与MN的函数关系式;
(3)两车出发几小时后,乙车追上甲车?
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【题目】为支援雅安灾区,某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B两种型号的学习用品共1000件,已知A型学习用品的单价为20元,B型学习用品的单价为30元.
(1)若购买这批学习用品用了26000元,则购买A,B两种学习用品各多少件?
(2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元,则最多购买B型学习用品多少件?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AC=4,BC=2,点D是边AB上一点,CD将△ABC分成△ACD和△BCD,若△ACD是以AC为底的等腰三角形,且△BCD与△BAC相似,则CD的长为( )
A.
B.2
C.4 ﹣4
D.
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【题目】填写下列空格完成证明:如图, EF∥AD , 1 2 , BAC 70 ,求AGD .
解:∵ EF∥AD ,
∴ 2 .( )
∵ 1 2 ,
∴ 1 3.( )
∴ ∥ .( )
∴ BAC 180 .( )
∵ BAC 70 ,
∴ AGD .
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【题目】如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M,N是边AD上的两点,连接MO,NO,并分别延长交边BC于两点M′,N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
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【题目】在△ABC 中,AB BC AC,∠A ∠B ∠C 60°.点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点(不与 A、B、C 重合),点 P 是平面内一动点.设∠PDC=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点 P 在边 BC 上运动(不与点 B 和点 C 重合),如图⑴所示,则∠1+∠2 .(用 α 的代数式表示)
(2)若点 P 在△ABC 的外部,如图⑵所示,则∠α、∠1、∠2 之间有何关系?写出你的结论,并说明理由.
(3)当点 P 在边 BC 的延长线上运动时,试画出相应图形,并写出∠α、∠1、∠2 之间的关系式.(不需要证明)
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【题目】几何探究题
(1)发现:在平面内,若BC=a,AC=b,其中a>b.
当点A在线段BC上时(如图1),线段AB的长取得最小值,最小值为 ;
当点A在线段BC延长线上时(如图2),线段AB的长取得最大值,最大值为 .
(2)应用:点A为线段BC外一动点,如图3,分别以AB、AC为边,作等边△ABD和等边△ACE,连接CD、BE.
①证明:CD=BE;
②若BC=3,AC=1,则线段CD长度的最大值为 .
(3)拓展:如图4,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
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【题目】如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的每个顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为,边界上的格点数为
,则格点多边形的面积可表示为
,其中
,
为常数.
(1)在下面的两张方格纸中各有一个格点多边形,依次为、正方形
.认真数一数:
内的格点数是_______,正方形
边界上的格点数是_______;
(2)利用(1)中的两个格点多边形确定,
的值;
(3)现有一张方格纸共有200个格点,画有一个格点多边形,它的面积,若该格点多边形外的格点数为
,求
的值.
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