Question

【题目】综合题
（1）【问题提出】如图1．△ABC是等边三角形，点D在线段AB上．点E在直线BC上．且∠DEC=∠DCE．求证：BE=AD；

（2）【类比学习】如图2．将条件“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变．判断线段AB，BE，BD之间的数量关系，并说明理由．

（3）【扩展探究】如图3．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在线段AB的反向延长线上，点E在直线BC上，且∠DEC=∠DCE，【类比学习】中的线段AB、BE、BD之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB，BE，BD之间的数量．

Answer 1

【答案】
（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：

则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，

∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，

∴AD=DF，

∵∠DEC=∠DCE，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，

在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD

（2）解：EB=AB+BD；理由如下：

作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD，

∴EB=AB+BD

（3）解： BE=3DB﹣3AB．

理由：作DF∥BC交CA的延长线于F，如图3所示，

则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC+∠DCE=180°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ADF=∠AFD=∠ABC，

∵∠DEC=∠DCE，

∴DE=DC，∠FDC+∠DEC=180°，

∵∠DEC+∠DEB=180°，

∴∠FDC=∠DEB，

在△DBE和△CFD中， ，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，DB=CF，

∵CF=AC+AF=AB+AF，

∴DB=AB+AF，

过点A作AG⊥DF于G，

∵AF=AD，

∴DF=2FG，

在Rt△AFG中，∠AFG=90°﹣∠FAG=90°﹣ ∠BAC=30°，

∴FG= AF，

∴EB=DF=2FG= AF，

∴AF= EB

∴DB=AB+ BE，

即： BE=3DB﹣3AB．

【解析】（1）作DF∥BC交AC于F，首先证明△ABC是等边三角形，然后再由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，首先证明△DBE≌△CFD，从而可得到EB=DF，即可得出结论；
（3）作DF∥BC交CA的延长线于F，首先证明△DBE≌△CFD，从而可得到EB=DF，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论.