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【题目】平面内,如图,ABCD,AB=10AD=15,点PAD边上任意点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.

1)当∠DPQ= 10°时,求∠APB的大小;

2)当 ,求点Q与点B间的距离(结果保留根号)

3)若点Q恰好落在口ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π).

【答案】1)当∠DPQ=10°时,APB的值为80°或100°;(2;(3PB旋转到PQ所扫过的面积为32π20π16π.

【解析】

(1)根据题意画出图形分情况讨论:①当点Q在平行四边形ABCD内时,②当点Q在平行四边形ABCD外时,结合题意分别求得答案.

(2) 连接BQ,作PE⊥AB于E,由已知结合题意即可求得tan∠ABP=2,在Rt△APE中,根据正切函数定义可设PE=4k,则AE=3k,在Rt△PBE中,根据正切函数定义可得EB=2k,

由AB=AE+EB即可求得k值,从而可得PE=8,EB=4,在Rt△PBE中,根据勾股定理可求得PB长,由等腰直角三角形性质可求得BQ长 .

(3)分三种情形分别求解即可; ①如图,当点Q落在直线BC上时,作BE⊥AD于E,PF⊥BC于F;在Rt△AEB中,根据正切tanA的值可求得BE=8,AE=6,从而可得PF=BE=8,根据等腰直角三角形的性质可得PF=BF=FQ=8,根据勾股定理可得PB=PQ=,根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积;

②如图,当点Q落在CD上时,作BE⊥AD于E,QF⊥AD交AD的延长线于F;设PE=x,由全等三角形判定可得△PBE≌△QPF,再由正切函数定义列方程可求PE=4,在Rt△PEB中,根据勾股定理求得PB=4,根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积;

③如图,当点Q落在AD上时,易知PB=PQ=8,根据扇形面积公式可得PB旋转到PQ所扫过的面积.

(1)解:如图1中,

①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°∠Q′P′B∠Q′P′D=180°90°10°=80°

②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°(∠QPB∠QPD)=180°(90°10°)=100°

综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°

(2)如图2中,连接BQ,作PE⊥AB于E.

∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=

∴tan∠ABP=2,在Rt△APE中,tanA=

设PE=4k,则AE=3k,在Rt△PBE中,tan∠ABP==2,

∴EB=2k,

∴AB=5k=10,

∴k=2,

∴PE=8,EB=4,

∴PB=

∵△BPQ是等腰直角三角形,

∴BQ=PB= .

(3)①如图3中,当点Q落在直线BC上时,作BE⊥AD于E,PF⊥BC于F. 则四边形BEPF是矩形。

在Rt△AEB中,∵tanA=

∵AB=10,∴BE=8,AE=6,

∴PF=BE=8,

∵△BPQ是等腰直角三角形,PF⊥BQ,∴PF=BF=FQ=8,

∴PB=PQ=

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.

②如图4中,当点Q落在CD上时,作BE⊥AD于E,QF⊥AD交AD的延长线于F. 设PE=x.

易证△PBE≌△QPF,

∴PE=QF=x,EB=PF=8,∴DF=AE+PE+PFAD=x1,∵CD∥AB,∴∠FDQ=∠A,

∴tan∠FDQ=tanA=

∴x=4,∴PE=4,

在Rt△PEB中,PB=

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=.

③如图5中,

当点Q落在AD上时,易知PB=PQ=8,

∴PB旋转到PQ所扫过的面积=

综上所述,PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.

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【题目】问题再现:

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:利用图形的几何意义推证完全平方公式.将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示成:(a+b2a2+2ab+b2∴(a+b2a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式.

问题提出:

如何利用图形几何意义的方法推证:13+2332 如图2A表示11×1的正方形,即:1×1×113B表示12×2的正方形,CD恰好可以拼成12×2的正方形,因此:BCD就可以表示22×2的正方形,即:2×2×223,而ABCD恰好可以拼成一个(1+2×1+2)的大正方形,由此可得:13+23=(1+2232

尝试解决:

请你类比上述推导过程,利用图形几何意义方法推证:13+23+33   (要求自己构造图形并写出推证过程)

类比归纳:

请用上面的表示几何图形面积的方法探究:13+23+33+…+n3   (要求直接写出结论,不必写出解题过程)

实际应用:

3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体,图中大小正方体一共有多少个?为了正确数出大小正方体的总个数,我们可以分类统计,即分别数出棱长是1234的正方体的个数,再求总和.

例如:棱长是1的正方体有:4×4×443个,棱长是2的正方体有:3×3×333个,棱长是3的正方体有:2×2×223个,棱长是4的正方体有:1×1×l13个,然后利用(3)类比归纳的结论,可得:     4是由棱长为1的小正方体成的大正方体,图中大小正方体一共有   个.

逆向应用:

如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中,通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个,那么棱长为1的小正方体一共有   个.

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(1)根据给出的信息,补全两幅统计图

(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?

(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛预赛分为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?

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(2)线段ACAGAH什么关系?请说明理由;

(3)设AEm

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