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【题目】ABC中,ACBC,∠ACB90°.点P在是平面内不与点ABC重合的任意一点,连接PC,将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,连接ADBP

1)观察猜想

当点P在直线AC上时,如图1,线段BPAD的数量关系是   ,直线BP与直线AD的位置关系是   

2)拓展探究

当点P不在直线AC上时,(1)中的数量关系和位置关系还成立吗?并就图2的情形说明理由;

3)解决问题

若点MN分别是ABAC的中点,点P在直线MN上,请直接写出点APD在同一条直线上时的值.

【答案】(1)BPADBPAD;(2)成立,理由见解析;(3

【解析】

1)观察猜想,如图1,延长BPADH,由“SAS”可证ACD≌△BCP,可得BP=AD,∠CAD=CBP,由余角的性质可证BPAD

2)拓展探究,如图2,延长BPADH,由“SAS”可证ACD≌△BCP,可得BP=AD,∠CAD=CBP,由三角形内角和定理可证BPAD

3)解决问题,分两种情况讨论,由“SAS”可证ACD≌△BCP,可得BP=AD,由线段垂直平分线的性质可得AP=PC,即可求解.

解:(1)观察猜想

如图1,延长BPADH

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC

PCCD,∠PCD90°

∴∠ACB=∠PCD90°,且ACBCPCCD

∴△ACD≌△BCPSAS

BPAD,∠CAD=∠CBP

∵∠CAD+D90°

∴∠CBP+D90°

∴∠BHD90°

BPAD

故答案为:BPADBPAD

2)拓展探究

仍然成立,

理由如下:如图2,延长BPADH

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC

PCCD,∠PCD90°=∠ACB

∴∠BCP=∠ACD90°,且ACBCPCCD

∴△ACD≌△BCPSAS

BPAD,∠CAD=∠CBP

∵∠CBP+ABP+BAC90°

∴∠CAD+ABP+BAC90°

∴∠AHB90°

BPAD

3)解决问题

当点A在线段PD上时,如图3,连接BP

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC

PCCD,∠PCD90°=∠ACB

∴∠BCP=∠ACD90°,且ACBCPCCD

∴△ACD≌△BCPSAS

PBAD

∵点MN分别是ABAC的中点,

MNBC

∴∠ANM=∠ACB90°,且ANCN

PNAC的中垂线,

APPC

PCCD,∠PCD90°

PDPC

ADPDAPPCPCBP

当点P在线段AD上时,如图4,连接BP

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC

PCCD,∠PCD90°=∠ACB

∴∠BCP=∠ACD90°,且ACBCPCCD

∴△ACD≌△BCPSAS

PBAD

∵点MN分别是ABAC的中点,

MNBC

∴∠ANM=∠ACB90°,且ANCN

PNAC的中垂线,

APPC

PCCD,∠PCD90°

PDPC

ADPD+APPC+PCBP

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