【题目】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.点P在是平面内不与点A,B,C重合的任意一点,连接PC,将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,连接AD,BP.
(1)观察猜想
当点P在直线AC上时,如图1,线段BP与AD的数量关系是 ,直线BP与直线AD的位置关系是 ;
(2)拓展探究
当点P不在直线AC上时,(1)中的数量关系和位置关系还成立吗?并就图2的情形说明理由;
(3)解决问题
若点M,N分别是AB和AC的中点,点P在直线MN上,请直接写出点A,P,D在同一条直线上时的值.
【答案】(1)BP=AD,BP⊥AD;(2)成立,理由见解析;(3)或
【解析】
(1)观察猜想,如图1,延长BP交AD于H,由“SAS”可证△ACD≌△BCP,可得BP=AD,∠CAD=∠CBP,由余角的性质可证BP⊥AD;
(2)拓展探究,如图2,延长BP交AD于H,由“SAS”可证△ACD≌△BCP,可得BP=AD,∠CAD=∠CBP,由三角形内角和定理可证BP⊥AD;
(3)解决问题,分两种情况讨论,由“SAS”可证△ACD≌△BCP,可得BP=AD,由线段垂直平分线的性质可得AP=PC,即可求解.
解:(1)观察猜想
如图1,延长BP交AD于H,
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,
∴PC=CD,∠PCD=90°,
∴∠ACB=∠PCD=90°,且AC=BC,PC=CD,
∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴BP=AD,∠CAD=∠CBP,
∵∠CAD+∠D=90°,
∴∠CBP+∠D=90°,
∴∠BHD=90°,
∴BP⊥AD,
故答案为:BP=AD,BP⊥AD;
(2)拓展探究
仍然成立,
理由如下:如图2,延长BP交AD于H,
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,
∴PC=CD,∠PCD=90°=∠ACB,
∴∠BCP=∠ACD=90°,且AC=BC,PC=CD,
∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴BP=AD,∠CAD=∠CBP,
∵∠CBP+∠ABP+∠BAC=90°,
∴∠CAD+∠ABP+∠BAC=90°,
∴∠AHB=90°,
∴BP⊥AD;
(3)解决问题
当点A在线段PD上时,如图3,连接BP,
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,
∴PC=CD,∠PCD=90°=∠ACB,
∴∠BCP=∠ACD=90°,且AC=BC,PC=CD,
∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴PB=AD,
∵点M,N分别是AB和AC的中点,
∴MN∥BC,
∴∠ANM=∠ACB=90°,且AN=CN,
∴PN是AC的中垂线,
∴AP=PC,
∵PC=CD,∠PCD=90°
∴PD=PC,
∴AD=PD﹣AP=PC﹣PC=BP,
∴;
当点P在线段AD上时,如图4,连接BP,
∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC,
∴PC=CD,∠PCD=90°=∠ACB,
∴∠BCP=∠ACD=90°,且AC=BC,PC=CD,
∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴PB=AD,
∵点M,N分别是AB和AC的中点,
∴MN∥BC,
∴∠ANM=∠ACB=90°,且AN=CN,
∴PN是AC的中垂线,
∴AP=PC,
∵PC=CD,∠PCD=90°
∴PD=PC,
∴AD=PD+AP=PC+PC=BP,
∴.
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【题目】已知抛物线y1=x2﹣2x+c的部分图象如图1所示:
(1)确定c的取值范围;
(2)若抛物线经过点(0,﹣1),试确定抛物线y1=x2﹣2x+c的解析式;
(3)若反比例函数y2=的图象经过(2)中抛物线上点(1,a),试在图2所示直角坐标系中,画出该反比例函数及(2)中抛物线的图象,并利用图象写出当y1>y2时,对应自变量x的取值范围.
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【题目】为了解某校九年级学生的理化实验操作情况,随机抽查了40名同学实验操作的得分.根据获取的样本数据,制作了如下的条形统计图和扇形统计图.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)扇形 ①的圆心角的大小是 ;
(Ⅱ)求这40个样本数据的平均数、众数、中位数;
(Ⅲ)若该校九年级共有320名学生,估计该校理化实验操作得满分(10分)有多少人.
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【题目】如图,直角坐标系中,直线 y=kx+b 分别交x,y轴于点A(-8,0),B(0,6),C(m,0)是射线AO上一动点,⊙P过B,O,C三点,交直线AB于点D(B,D不重合).
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)若点D在第一象限,且tan∠ODC= , 求点D的坐标.
(3)当△ODC为等腰三角形时,求出所有符合条件的m的值.
(4)点P,Q关于OD成轴对称,当点Q恰好落在直线AB上时,直接写出此时BQ的长.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2a﹣1)x+a2+2=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数a的取值范围,并求a的最大整数;
(2)x=1可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根,若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在中,,于点,且,点分别从点向向匀速运动,速度均为;且运动过程中始终保持,直线交于点、交于点、交于点. 连接,设运动时间为.
(1)当_____时,四边形是平行四边形.
(2)连接,,设的面积为,求与之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(4)连接,是否存在某一时刻,使点在线段的垂直平分线上?若存在,请直接写出此时的值;若不存在,说明理由.
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【题目】(9分)某校在基地参加社会实践话动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的而积最大?下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
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【题目】如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD的中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边AD、BC上,则折痕FG的长度为_____.
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