Question

【题目】如图，直角坐标系中，直线 y=kx+b 分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.

（1）求直线AB的函数表达式.

（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC= ， 求点D的坐标.

（3）当△ODC为等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值.

（4）点P，Q关于OD成轴对称，当点Q恰好落在直线AB上时，直接写出此时BQ的长.

Answer 1

【答案】（1）y=x+6；（2）D（ ， ）；（3）m的值为-3或或12或 8；（4）BQ=.

【解析】

（1）把A、B两点坐标代入y=kx+b求出k、b的值即可；（2）连结BC，作DE⊥OC于点E，根据圆周角定理可得∠OBC=∠ODC，由tan∠ODC= 可求出OC的长，进而可得AC的长，利用∠DAC的三角函数值可求出DE的长，即可得D点纵坐标，代入直线AB解析式求出D点横坐标即可得答案；（3）分四种情况泰伦，利用两点间距离公式及相似三角形对应边成比例列式即可；（4）分析四边形DPOQ为菱形，推出∠BOP=∠ABO，利用三角函数求线段长度；

解：

（1）∵A（-8，0）、B（0，6）在y=kx+b上，

∴，解得，

∴直线AB的函数表达式为y=x+6.

（2）连结BC，作DE⊥OC于点E，

∵∠BOC=90°，

∴BC为⊙P的直径，

∴∠ADC=90°，

∵∠OBC=∠ODC，tan∠ODC=，

∴，

∵OB=6，OA=8，

∴OC=10，AC=18，AB=10，

∵cos∠DAC==，sin∠DAC==，

，

，

令 ，，，

∴D（ ， ）

（3）①如图2所示，当DC=OC时，

∵BC=BC，∠BDC=∠BOC=90°，

∴△BDC≌△BOC(HL)，

∴BD=BO=6，

设点D的坐标为（n，），

∴BD=，

解得n=，

∴D（ ，），

∵C（m，0），

∴DC=，

解得m=-3.

②如图3所示，当OD=DC时，

过D作DE⊥OC于点E，

设点D的坐标为（a，），则m=2a，

∴DE=， EC=a，AE=8+a，

∴△ADE∽△DCE，

∴，

即，

解得（舍去），

∴m=.

③如图4所示，当DC=OC时，

∵OC=m，

∴CD=m，

∴AD=，

∴AC=，

∴8+m=，

解得m=12.

④如图5所示，当OD=OC时，

OC=OD=m，

∴AC=8+m，

∴AD=AC×cos∠BAO=，

则AH=AD×cos∠BAO=，

∴OH=AH-8=，

∵DH=AD×sin∠BAO=，

∴，

解得m=±8.

∵m>0

∴m=8

综上所述，m的值为-3或或12或 8.

（4）解：如图6所示，连结OQ，

∵PD=DQ，PO=OQ，PD=OP，

∴DQ=DP=PO=OQ，

∴四边形DQOP为菱形，

∴DQ∥PO，

∴∠BOP=∠PBO=∠ABO，

在Rt△BOC中，∠BOC=90°，P为BC中点

∴BP=BC=BO÷cos∠BOP=5，

∴OQ=5，

设点Q的坐标为（c，），

则OQ= ，

∴

∵c=-4时，B、D重合

∴c=-4不符合题意，舍去

∴

∴Q（-，），

∴BQ=.