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【题目】如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,边AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.

(1)直接写出D,E两点的坐标,D(   ),E(   ),直接判断四边形NMPE的形状为   

(2)当t为何值时,四边形NMPE是正方形?

(3)当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标.

【答案】(1)(0,),(2,4),矩形;(2)t=;(3)t=或t=2

【解析】

(1)根据折叠的性质可知:AE=OA,OD=DE,那么可在直角三角形ABE中,用勾股定理求出BE的长,进而可求出CE的长,也就得出了E点的坐标.在直角三角形CDE中,CE长已经求出,CD=OC﹣OD=4﹣OD,DE=OD,用勾股定理即可求出OD的长,也就求出了D点的坐标;

(2)根据四边形PMNE是个矩形,可用时间t表示出AP,PE的长,然后根据相似三角形APMAED求出PM的长,根据正方形的性质列方程即可得到结论;

(3)本题要分三种情况进行讨论:(Ⅰ)ME=MA时,此时MP为三角形ADE的中位线,那么AP= ,据此可求出t的值,过MMF⊥OAF,那么MF也是三角形AOD的中位线,M点的横坐标为A点横坐标的一半,纵坐标为D点纵坐标的一半.由此可求出M的坐标.

(Ⅱ)当MA=AE时,先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长,然后根据相似三角形AMPADE来求出AP,MP的长,也就能求出t的值.根据折叠的性质,此时AF=AP,MF=MP,也就求出了M的坐标;

(Ⅲ)EM=EA的情况不成立.

解:(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,

∵在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4,BE= =3,

∴CE=2,

∴E点坐标为(2,4),

在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2

又∵DE=OD,

∴(4﹣OD)2+22=OD2

解得:OD=

∴D点坐标为(0,).

∵PM∥DE,MN∥EP,

∴四边形NMPE为平行四边形.

又∵∠DEA=90°,

∴四边形PMNE为矩形;

故答案为:(0,),(2,4),矩形;

(2)∵PM∥ED,

∴△APM∽△AED.

∴PM=

又∵AP=t,ED= ,AE=5,

∴PM=

当PM=PE时,四边形NMPE是正方形,

=5﹣t,

解得:t=

当t=时,四边形NMPE是正方形;

(3)(Ⅰ)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA(如图①)

在Rt△AED中,ME=MA,

∵PM⊥AE,

∴P为AE的中点,

∴t=AP= AE=

又∵PM∥ED,

∴M为AD的中点,

过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线,

∴MF=OD= ,OF=OA=

∴当t=时,(0<<5),△AME为等腰三角形,

此时M点坐标为( );

(Ⅱ)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5(如图②)

在Rt△AOD中,AD=

过点M作MF⊥OA,垂足为F,

∵PM∥ED,

∴△APM∽△AED,

∴t=AP=

∴PM= t=

∴MF=MP=,OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2

∴当t=2时,(0<2<5),此时M点坐标为(5﹣2

(Ⅲ)根据图形可知EM=EA的情况不成立,

综合综上所述,当t= 或t=2时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,相应M点的坐标为( )或(5﹣2).

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