Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且．

（1）求的值；

（2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形．

【解析】

（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形．

解:（1）抛物线经过点

又由题意可知，是方程的两个根，

，

由已知得

又

解得，

当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．

；

（2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上，

又

拋物线的顶点即为所求的点；

（3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为

根据菱形的性质，

点必是直线与抛物线的交点，

当时，

在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形．

四边形不能成为正方形，

因为如果四边形为正方形，．点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上.