【题目】如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝
CD，下列结论中正确的个数为( )
①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论．
∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=
CD，设CF=x，则CD=4x，∴DF=3x，BE=EC=2x，∴ AB：EC=BE：CF=2：1．∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∴AB：AE=BE：EF，
∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEF=∠B=90°，∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF，∴②③正确．
故选B．
初中学业考试导与练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：分解因式：
解：将“
”看成整体，设
，则原式＝
再将“
”还原，得原式＝
.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：
(1)因式分解：
；
.
(2)因式分解：
；
.
(3)求证：若
为正整数，则式子
的值一定是某一个正整数的平方．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，∠α、∠β分别是与∠BAD、∠BCD相邻的补角，且∠B+∠CDA=140°，则∠α+∠β=（ ）．
A.260°B.150°C.135°D.140°
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【题目】2017年5月25日，中国国际大数据产业博览会在贵阳会展中心开幕，博览会设了编号为1～6号展厅共6个，小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅：第一天从6个展厅中随机选择一个，第二天从余下的5个展厅中再随机选择一个，且每个展厅被选中的机会均等．
（1）第一天，1号展厅没有被选中的概率是 ；
（2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号展厅被选中的概率．
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【题目】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．
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【题目】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是_____．
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【题目】（2016新疆）如图，ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形BCED′是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
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【题目】探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 度；
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数；
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ 度．
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