Question

19．已知如图，点A（1，0），点B（2，0），点P是直线y=$\frac{1}{2}$x+1上的一个动点，PA²+PB²的最小值=$\frac{27}{5}$．

Answer 1

分析 设P（a，$\frac{1}{2}$a+1），根据两点间的距离公式得到PA²+PB²=（a-1）²+（$\frac{1}{2}$a+1）²+（a-2）²+（$\frac{1}{2}$a+1）²，化简得到PA²+PB²=$\frac{5}{2}$（a-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{27}{5}$，根据二次函数的最值的求法即可得到结论．

解答 解：设P（a，$\frac{1}{2}$a+1），
∵A（1，0），点B（2，0），
∴PA²+PB²=（a-1）²+（$\frac{1}{2}$a+1）²+（a-2）²+（$\frac{1}{2}$a+1）²，
∴PA²+PB²=$\frac{5}{2}$a²-4a+7=$\frac{5}{2}$（a-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{27}{5}$，
∴PA²+PB²的最小值=$\frac{27}{5}$，
故答案为：$\frac{27}{5}$．

点评 本题考查了最小值问题，两点间的距离公式，一次函数图象上的坐标特征，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．