Question

10．已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根为x₁，x₂，且满足（2x₁-3）（2x₂-3）=29，则a的值为6．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，再把它们代入已知条件后整理得到得a²-4a-12=0，解得a₁=6，a₂=-2，然后分别把a的值代入原方程，根据判别式的意义确定a的值．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵（2x₁-3）（2x₂-3）=29，即2x₁x₂-3（x₁+x₂）-10=0，
∴2（a²-7a-4）+6（a-1）-10=0，
整理得a²-4a-12=0，解得a₁=6，a₂=-2，
当a=6时，原方程变形为x²+10x-10=0，△＞0，方程有两个不等的实数根；
当a=-2时，原方程变形为x²-6x+14=0，△＜0，方程没有实数根；
∴a的值为6．
故答案为6．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程根的判别式．