Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

　

Answer 1

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；

（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．

【解答】解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AD=CD，

∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD；

 

（2）∵△AED≌△CFD，

∴AE=CF，

∵EF为线段AC的垂直平分线，

∴EC=EA，FC=FA，

∴EC=EA=FC=FA，

∴四边形AECF为菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．