Question

14．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，点D、E在线段BC上运动，设BE=x，CD=y．下列结论中一定成立的是①③④．（填写所有正确结论的序号）
①若BE=BA，CD=CA，则∠DAE=45°；
②若∠DAE=45°，则BE=BA，CD=CA；
③若∠DAE=45°，则xy=2；
④若xy=2，则∠DAE=45°．

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据等腰三角形的性质得到$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，于是得到∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°，故①正确；
②由∠DAE=45°，得不到∠BAE等于∠BEA，于是得到BE不一定等于BA，同理CD不一定等于CA，故②错误；
③由∠DAE=45°，得到∠B=∠DAE，推出△ABE∽△DAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$，同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$，等量代换得到$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，求得xy=2；故③正确；
④由xy=2，得到$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠ADE，证得△ABE∽△ADE，于是得到∠DAE=∠B=45°，故④正确．

解答 解：①∵AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BE=BA，CD=CA，
∴$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°，故①正确；
②∵∠DAE=45°，
则∠BAE不一定等于∠BEA，
∴BE不一定等于BA，同理CD不一定等于CA，故②错误；
③∵∠DAE=45°，
∴∠B=∠DAE，
∵∠BEA=∠DEA，
∴△ABE∽△DAE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$，
同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，
∴xy=2；故③正确；
④∵xy=2，
∴$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$，
即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠BAE=∠ADE，
∵∠AED=∠AEB，
∴△ABE∽△ADE，
∴∠DAE=∠B=45°，故④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．