Question

【题目】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是_____．

Answer 1

【答案】或4．

【解析】

分两种情况讨论：①点Q在AB边上时，设BP＝x，用x表示出S△DCQ和 S△AQD，即可求解；②当Q在AC上时，则△AD Q与△CD Q的面积相等可得AQ＝CQ，据此可求解.

解：分两种情况讨论：

①点Q在AB边上时，

∵AD⊥BC，AD＝BD＝3，CD＝2，

∴S△ABD＝BDAD＝×3×3＝，∠B＝45°，

∵PQ⊥BC，

∴BP＝PQ，

设BP＝x，则PQ＝x，PD= 3-x，

∵CD＝2，

∴S△DCQ＝×2x＝x，

S△AQD＝×3×（3-x）

＝﹣x

∵△ADQ与△CDQ的面积相等，

∴x＝﹣x，

解得x＝；

②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，

∵AD⊥BC，

∴Q'P'∥AD，

∵△AD Q'与△CD Q'的面积相等，

∴AQ'＝CQ'，

∴DQ'是Rt△ADC斜边上的中线，

∴DQ'= CQ'，

∴P' Q'是CD的垂直平分线，

∴DP'＝CP'＝CD＝1，

∵AD＝BD＝3，

∴BP'＝BD+DP'＝4，

综上所述，线段BP的长度是或4．

故答案为：或4．