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【题目】如图,已知矩形ABCD中,BC=2cmAB=2cm,点E在边AB上,点F在边AD上,点EAB运动,连结ECEF,在运动的过程中,始终保持ECEFEFG为等边三角形.

1)求证AEF∽△BCE

2)设BE的长为xcmAF的长为ycm,求yx的函数关系式,并写出线段AF长的范围;

3)若点HEG的中点,试说明AEHF四点在同一个圆上,并求在点EAB运动过程中,点H移动的距离.

【答案】(1)详见解析;(2),(3)3.

【解析】

1)由∠A=B=90°,∠AFE=BEC,得△AEF∽△BCE;(2)由(1)△AEFBCE,即,然后求函数最值;(3)连接FH,取EF的中点M,证MA=ME=MF=MH,则AEHF在同一圆上;连接AH,证∠EFH=30°AEHF在同一圆上,得∠EAH=EFH=30°,线段AH即为H移动的路径,在直角三角形ABH中,,可进一步求AH.

解:(1)在矩形ABCD中,∠A=B=90°

∴∠AEF+AFE=90°

EFCE

∴∠AEF+BEC=90°

∴∠AFE=BEC

∴△AEF∽△BCE

2)由(1)△AEFBEC

=

时,y有最大值为

3)如图1,连接FH,取EF的中点M

在等边三角形EFG中,∵点HEG的中点,

∴∠EHF=90°

ME=MF=MH

在直角三角形AEF中,MA=ME=MF

MA=ME=MF=MH

AEHF在同一圆上;

如图2,连接AH

∵△EFG为等边三角形,HEG中点,∴∠EFH=30°

AEHF在同一圆上∴∠EAH=EFH=30°

如图2所示的线段AH即为H移动的路径,

在直角三角形ABH中,

AB=

AH=3

所以点H移动的距离为3

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