【题目】如图,已知矩形ABCD中,BC=2cm,AB=2cm,点E在边AB上,点F在边AD上,点E由A向B运动,连结EC、EF,在运动的过程中,始终保持EC⊥EF,△EFG为等边三角形.
(1)求证△AEF∽△BCE;
(2)设BE的长为xcm,AF的长为ycm,求y与x的函数关系式,并写出线段AF长的范围;
(3)若点H是EG的中点,试说明A、E、H、F四点在同一个圆上,并求在点E由A到B运动过程中,点H移动的距离.
【答案】(1)详见解析;(2),;(3)3.
【解析】
(1)由∠A=∠B=90°,∠AFE=∠BEC,得△AEF∽△BCE;(2)由(1)△AEF∽BCE得,,即,然后求函数最值;(3)连接FH,取EF的中点M,证MA=ME=MF=MH,则A、E、H、F在同一圆上;连接AH,证∠EFH=30°由A、E、H、F在同一圆上,得∠EAH=∠EFH=30°,线段AH即为H移动的路径,在直角三角形ABH中,,可进一步求AH.
解:(1)在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠BEC=90°,
∴∠AFE=∠BEC,
∴△AEF∽△BCE;
(2)由(1)△AEF∽BEC得
,,
∴,
∵=,
当时,y有最大值为,
∴;
(3)如图1,连接FH,取EF的中点M,
在等边三角形EFG中,∵点H是EG的中点,
∴∠EHF=90°,
∴ME=MF=MH,
在直角三角形AEF中,MA=ME=MF,
∴MA=ME=MF=MH,
则A、E、H、F在同一圆上;
如图2,连接AH,
∵△EFG为等边三角形,H为EG中点,∴∠EFH=30°
∵A、E、H、F在同一圆上∴∠EAH=∠EFH=30°,
如图2所示的线段AH即为H移动的路径,
在直角三角形ABH中,,
∵AB=,
∴AH=3,
所以点H移动的距离为3.
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【题目】如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度=1:2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)
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【题目】为弘扬中华优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示这三个材料),将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗匀后放在桌面上,比赛时甲同学先从中随机抽取一张卡片,记下内容后放回,洗匀后,再由乙同学从中随机抽取一张卡片,甲、乙两同学按各自抽取的内容进行诵读比赛.
请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学诵读两个不同材料的概率.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(3,0),B(﹣5,0),C(0,﹣5)三点,O为坐标原点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移个单位长度,再向左平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点M在△ABC内,求n的取值范围;
(3)设点P在y轴上,且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的长.
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【题目】如图,它是一个8×10的网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1.
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗?如果是,请画出对称轴.△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形.
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【题目】如图,将边长为4的等边三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(x<0)的图象与AB边交于点C,与BO边交于点D,若CD⊥BO,则k的值为( )
A. -B. C. D.
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【题目】学生利用微课学习已经越来越多,某学校调查了若干名学生利用微课学习语文、数学、英语、物理、历史的情况,根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请结合图中信息解决下列问题:
(1)抽取了____名学生进行调查.
(2)将条形统计图补充完整.
(3)估计学生利用微课学习哪料的人数最多?若该校有2000名学生,估计有多少人利用微课学习该学科.
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