Question

12．如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线BD上不同于B，D的任意一点，AF=BE，∠DAF=∠CBD．
（1）求证：AF∥BE；
（2）四边形DCEF是什么特殊四边形？清说明理由；
（3）试确定当点E在什么位置时，四边形AEDF变为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合平行线的判定方法得出即可；
（2）首先得出四边形ABEF是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出EF$\stackrel{∥}{=}$DC进而得出答案；
（3）当E为BD的中点时，利用菱形的判定方法得出四边形AEDF为菱形．

解答 （1）证明：如图1，连接EC，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠DAF=∠CBD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥DB；

（2）解：四边形DCEF是平行四边形，
理由：∵AF$\stackrel{∥}{=}$BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$DC，
∴四边形FECD是平行四边形；

（3）解：如图2，当E为BD的中点时，四边形AEDF变为菱形，
理由：∵E为BD的中点，∠BAD=90°，
∴AE=BE=DE，
∵AF=BE，AF∥BD，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$DE，AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．