Question

14．阅读下面问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\sqrt{5}$-2．
猜测：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$的值；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）的值．
（3）根据你的猜测计算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+L+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；
（3）根据规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案．

解答 解：（1）原式=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（2）原式=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（3）原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=10-1=9．

点评 本题考查了分母有理化，发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差是解题关键．