Question

13．△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，以CD为直径的半圆⊙O与AB相切于点E．

（1）如图①，若CD=3AD．求证：点E为AB的中点；
（2）如图②，作DF∥AB交半圆O于F，若AE=2BE=12，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEA=90°根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OE，根据平行线的性质得到OE⊥DF，得到DG=$\frac{1}{2}DF$，根据勾股定理得到r=5，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接OE，∵半圆⊙O与AB相切于点E，
∴∠OEA=90°，
设OE=OC=OD=x，
∵CD=3AD，
∴AD=$\frac{2}{3}$x，
∴AC=AB=x+x+$\frac{2}{3}$x=$\frac{8}{3}$x，
∵AE=$\sqrt{A{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{3}x）^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{4}{3}$x，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴点E为AB的中点；

（2）连接OE交DF于G，连接OE，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，
∵DF∥AB，
∴OE⊥DF，
∴DG=$\frac{1}{2}DF$，
∵AE=2BE=12，
∴BE=6，
∵AB=AC，
∴AC=12+6=18，
设⊙O的半径为r，
∵OA²-OE²=AE²，
∴（18-r）²-r²=12²，
∴r=5，
∵DF∥AB，
∴$\frac{GD}{AE}=\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}DF}{12}=\frac{5}{13}$，
∴DF=$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．正确的作出辅助线是解题的关键．