Question

5．已知方程ax²+bx+c=0的两实数根是a，c（ac≠0），则方程9cx²+3bx+a=0的根的情况是（　　）

• A． 必有一根为$\frac{1}{3}$
• B． 必有一根为$\frac{1}{9}$
• C． 两根分别为$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$
• D． 必有一根为$\frac{1}{3}$或-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得a+c=-$\frac{b}{a}$，ac=$\frac{c}{a}$，由第二个等式可解出a=1或a=-1，讨论：当a=1时，易得b=-c-1，则方程9cx²+3bx+a=0化为9cx²+3（-c-1）x+1=0，利用因式分解法解得x₁=$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$；当a=-1时，则b=c-1，方程9cx²+3bx+a=0化为9cx²+3（c-1）x-1=0，解得x₁=-$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$，于是可判断方程9cx²+3bx+a=0一定有一根为$\frac{1}{3}$．

解答 解：∵方程ax²+bx+c=0的两实数根是a，c，
∴a+c=-$\frac{b}{a}$，ac=$\frac{c}{a}$，
∴a=1或a=-1，
当a=1时，1+c=-b，则b=-c-1，
∴方程9cx²+3bx+a=0化为9cx²+3（-c-1）x+1=0，
（3cx-1）（3x-1）=0，
∴x₁=$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$；
当a=-1时，则b=c-1，
∴方程9cx²+3bx+a=0化为9cx²+3（c-1）x-1=0，
（3cx+1）（3x-1）=0，
∴x₁=-$\frac{1}{3c}$，x₂=$\frac{1}{3}$，
综上所述，方程9cx²+3bx+a=0一定有一根为$\frac{1}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了根与系数的关系．