Question

如图，直线l₁，l₂，交于C点，直线l₁与x轴交于A，直线l₂与x轴交于B（3，0），与y轴交于D（0，3），已知直线l₁的函数解析式为y=2x+2．
（1）求直线l₂的解析式好交点C的坐标；
（2）将直线l₁向下平移a个单位使之经过B，与y轴交于E，
①求△CBE的面积；
②若点Q为y轴上一动点，当△EBQ为等腰三角形时，求出Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线l₂解析式为y=kx+b，代入B，D两点即可求得直线l₂解析式，即可求得C点坐标，即可解题；
（2）①易得直线BE斜率，即可求得直线BE解析式，可得E点坐标，根据直线CE经过C，E两点可求得直线CE解析式，即可求得点G坐标，即可解题；
②存在2种情况：BE=BQ或BQ=EQ，分类讨论：当BE=BQ时和当BQ=EQ时，分别求得点Q坐标即可解题．

解答：解：（1）设直线l₂解析式为y=kx+b，
∵直线l₂与x轴交于B（3，0），与y轴交于D（0，3），
∴代入B，D点坐标得：y=-x+3，
设c点坐标为（x，y），
则

y=2x+2 y=-x+3

，
解得：x=

1

3

，y=

8

3

，
∴C点坐标为（

1

3

，

8

3

）；
（2）①如图，

∵直线BE为直线AC平移而来，∴直线BE斜率为2，
设直线BE解析式为y=2x+b，代入B点得：直线BE解析式为y=2x-6，
∴E点坐标为（0，-6），
∵直线CE经过C，E两点，设直线CE解析式为y=kx+b，
代入C，E两点得：b=-6，k=26，
∴直线CE解析式为y=26x-6，
∴点G坐标为（

3

13

，0），
∴S_△BCE=

1

2

（3-

3

13

）×（

8

3

+6）=12；
②存在3种情况：BE=BQ或BQ=EQ或BE=EQ，设Q坐标（0，y），
当BE=BQ时，点Q坐标为E关于x轴对称点，
∴点Q坐标为（0，6），
当BE=EQ，点Q坐标为（0，-3

5

-6）或（0，3

5

-6）
当BQ=EQ时，设Q坐标（0，y），
则3²+y²=（6+y）²，
解得：y=-

9

4

，
故点Q坐标为（0，6）或（0，-

9

4

）时，△EBQ为等腰三角形．
综上所述，符合条件的点Q的坐标分别是：（0，-3

5

-6）或（0，3

5

-6）或（0，6）或（0，-

9

4

）．

点评：本题考查了两条直线交点的求解，考查了直线解析式的求解，考查了等腰三角形腰长相等性质，考查了三角形面积的计算，本题中求得直线CE解析式是解题的关键．