Question

已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．
（1）点O到弦AB的距离为

 

；．
（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；
①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；
②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；
③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,垂径定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．
（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠P A′B=90°，即可解决问题．
②证明∠A′B P=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．
③直接写出α的取值范围即可解决问题．

解答：解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；
∵OA=OB，
则∠AOC=∠BOC=

1

2

×120°=60°，
∵OA=2，
∴OC=1．
故答案为1．
（2）①∵∠AOB=120°
∴∠APB=

1

2

∠AOB=60°，
∵∠PBA=30°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是⊙O的直径，
由翻折可知：∠P A′B=90°，
∴点A′在⊙O上．
②由翻折可知∠A′B P=∠ABP，
∵BA′与⊙O相切，
∴∠OB A′=90°，
∴∠AB A′=120°，
∴∠A′B P=∠ABP=60°；
∵∠APB=60°，
∴△PAB为正三角形，
∴BP=AB；如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC；而OA=2，OC=1，
∴AC=

3

，
∴BP=AB=2

3

．
③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

点评：该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．