Question

如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，连接OB、OC．
求证：∠BOC=90°-

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∠A．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连结OD、OE、OF，如图，根据切线的性质得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，则根据角平分线性质定理的逆定理得到∠1=∠2，∠3=∠4，则∠BOC=

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∠EOF，然后根据四边形的内角和得到∠EOF=180°-∠A，于是有∠BOC=

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（180°-∠A）=90°-

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2

∠A．

解答：解：连结OD、OE、OF，如图，
∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BF=BD，CE=CD，
∴OB平分∠DOF，OC平分∠DOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠BOC=

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∠EOF，
∵∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=180°-∠A，
∴∠BOC=

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（180°-∠A）=90°-

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2

∠A．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；灵活使用切线长定理．