Question

19．已知，四边形ABCD，连接AC，∠ABC=∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ADC，若DC=2AD=4，则△ABC的面积为3$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 过点C作CE∥AD交AB于E，由AAS证得△ADC≌△BEC，得出BE=AD，CE=CD，再由CE∥AD，证出∠DAC=∠ACE=∠BAC，得出AE=CE，CD=AE，AB=AE+BE=CD+AD=6，作CF⊥AB交AB于F，CG⊥AD交AD的延长线于G，由AAS证得△ACF≌△ACG，得出AF=AG，CF=CG，AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=AG=3，DG=AG-AD=1，由勾股定理得CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{15}$=CF，再由三角形面积公式即可得出结果．

解答 解：过点C作CE∥AD交AB于E，如图所示
∴∠BEC=∠BAD，
∵∠ABC=∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴AC=BC，∠BEC=2∠DAC=∠ADC，
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠EBC}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∵CE∥AD，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠ACE=∠BAC，
∴AE=CE，
∴CD=AE，
∴AB=AE+BE=CD+AD=6，
作CF⊥AB交AB于F，CG⊥AD交AD的延长线于G，
在△ACF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠GAC}\\{∠AFC=∠AGC=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACG（AAS），
∴AF=AG，CF=CG，
∵△ACB为等腰三角形，
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AG=3，
∴DG=AG-AD=3-2=1，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴CF=$\sqrt{15}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{15}$=3$\sqrt{15}$．
故答案为：3$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．