Question

【题目】如图，，，点在边上，点在边的延长线上，且，垂足为，的延长线交于点.

（1）若，求四边形的面积；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】(1)100；(2)见解析.

【解析】

(1)先证明四边形ABCD是正方形，再根据已知条件证明△BCF≌△DCE，即可得到四边形的面积=正方形ABCD的面积；

(2) 延长BG交AD于点M，作AN⊥MN，连接FG，先证明四边形BCEM是平行四边形，得到BM=CE，证明△BCF≌△GCF，得到BF=GF，∠FGC=∠FBC=，由AN⊥MN，得GM=2MN，根据∠BAC=45，BC∥AD得到AM=BF，再证△BFH≌△AMN,得到GM=2FH，

由此得到结论.

(1)∵，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵，

∴AB=AD=BC=DC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=，

∴∠CDE=，

∵BF=DE,BC=DC，

∴△BCF≌△DCE，

∴四边形的面积=S正方形ABCD=AB2=102=100.

(2)延长BG交AD于点M，作AN⊥MN，连接FG,

∵△BCF≌△DCE，

∴∠BCF=∠DCE，

∴∠FCE=∠BCD=,

∵BG⊥CF，

∴∠FHM=∠FCE=,

∴BM∥CE,

∵BC∥AD,

∴四边形BCEM是平行四边形，

∴BM=CE.

∵，BG⊥CF，

∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,

∴△BCF≌△GCF,

∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=,

∵∠BAC=45，

∴∠AFG=∠BAC=45，

∴FG=AG,

∵BC∥AD,

∴∠CBM=∠AMB,

∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,

∴AM=AG,

∵AN⊥MN，

∴GM=2MN,

∵∠BAD=∠ANM=,

∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=,

∴∠ABM=∠MAN,

∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=,

∴△BFH≌△AMN,

∴FH=MN,

∴GM=2FH,

∵BG+GM=CE,

∴.