Question

【题目】如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为_____厘米，BP的长为______厘米.（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形.

（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

Answer 1

【答案】（1）t，5﹣t；（2）第秒或第秒；（3）不变，∠CMQ=60°.

【解析】

（1）根据距离=速度×时间，结合图形解答即可；（2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质列式计算即可；（3）利用SAS证明△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ＝∠ACP，根据三角形外角性质及等边三角形的内角是60°解答即可．

（1）∵点P、Q的速度都为1厘米/秒．

∴BQ＝t，AP＝t，

∴BP=5-t，

故答案为：t，（5﹣t）

（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t，

①如图，当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°，

∴PB＝2BQ，得5﹣t＝2t，

解得，t＝，

②如图，当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，

∴∠BQP＝30°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（5﹣t），

解得，t＝，

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；

（3）∠CMQ不变，理由如下：

在△ABQ与△CAP中，，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，

∴∠CMQ不会变化．