Question

【题目】如图，在正方形中，点为延长线上一点且，连接，在上截取，使，过点作平分，，分别交于点、.连接.

（1）若，求的长；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）6-；（2）证明见详解

【解析】

（1）由正方形性质和等腰直角三角形性质及勾股定理即可求得结论；
（2）过点D作DM⊥CF于点M，证明△DCM≌△CBH，再证明△BHG、△DMG都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的数量关系即可．

解：（1）∵ABCD是正方形
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠BAE=∠BCD=90°，
∵BF=AD=
∴AB=AD=AE=

∴BE==
∴EF=BE-BF=6-，

（2）如图，过点D作DM⊥CF于点M，则∠CDM+∠DCM=90°，

∵∠DCM+∠BCH=90°
∴∠CDM=∠BCH
∵∠BAE=90°，AB=AE
∴∠ABE=45°
∵BH⊥CF
∴∠BHC=∠CMD=90°，∠FBH=∠CBF=×（90°+45°）=67.5°

在△DCM和△CBH中，

∴△DCM≌△CBH（AAS）
∴DM=CH，CM=BH
∵BG平分∠ABF
∴∠FBG=∠ABE=22.5°
∴∠HBG=∠FBH-∠FBG=45°
∴△BHG是等腰直角三角形，
∴BH=HG，BG=BH=CM
∴CM=HG
∴CH=GM
∴DM=GM
∴△DMG是等腰直角三角形，
∴DG=GM，
∴DG+BG=GM+CM=（GM+CM）=CG