Question

15．阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，∴a=2，b=1
∴$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$=$\frac{（-{x}^{2}+1）（{x}^{2}+2）+1}{-{x}^{2}+1}$=$\frac{（-{x}^{2}+1）（{x}^{2}+2）}{-{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$=x²+2+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$
这样，分式$\frac{-{x}^{4}-{x}^{2}+3}{-{x}^{2}+1}$被拆分成了一个整式x²+2与一个分式$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$的和．
解答：
（1）将分式$\frac{-{x}^{4}-8{x}^{2}+10}{-{x}^{2}+1}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）试说明$\frac{-{x}^{4}-8{x}^{2}+10}{-{x}^{2}+1}$的最小值为10．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；
（2）原式分子变形后，利用非负数的性质求出最小值即可．

解答 解：（1）设-x⁴-8x²+10=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=8}\\{a+b=10}\end{array}\right.$，
∴a=9，b=1．
∴$\frac{-{x}^{4}-8{x}^{2}+10}{-{x}^{2}+1}$=x²+9+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$；
（2）由$\frac{-{x}^{4}-8{x}^{2}+10}{-{x}^{2}+1}$=x²+9+$\frac{1}{-{x}^{2}+1}$=x²-1-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+10知，
令t=x²-1，可知t≥-1，且t≠0；
则原式=t-$\frac{1}{t}+10$，
t＞0时，t越大，$\frac{1}{t}$越小，则t-$\frac{1}{t}$+10越大，无最值；
-1≤t＜0时，t越大，$\frac{1}{t}$越小，则t-$\frac{1}{t}$+10越大，当t=-1时有最小值，t-$\frac{1}{t}$+10=10，此时x²-1=-1，x=0
因此当x=0时，$\frac{-{x}^{4}-8{x}^{2}+10}{-{x}^{2}+1}$的最小值为10．

点评 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．