Question

在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的点，且CE=CF，点G是BC延长线上的一点且∠CEG+∠CDF=90°，连结EF、AE、AF．
（1）直接填空：∠FEC=

 

°；
（2）求证：EG=FD；
（3）若∠AED：∠G：∠DFE=6：3：2，求∠EAF的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据等边对等角及直角三角形的两锐角互余即可求出∠FEC的度数；
（2）先由∠CEG+∠CDF=90°及∠CEG+∠G=90°，根据同角的余角相等可证∠CDF=∠G，然后根据AAS可证△DCF≌△GCE，最后根据全等三角形的对应边相等即可证明EG=FD；
（3）由∠AED：∠G：∠DFE=6：3：2，可设∠AED=6x，∠G=3x，∠DFE=2x，由（2）可知∠CDF=∠G，可得∠CDF=∠G=3x，然后利用外角的性质可得：∠CDF+∠DFE=∠FEC，即3x+2x=45°，进而求出x的值，从而确定∠AED的度数，进而求出∠DAE的度数，然后根据正方形的性质可得DE=BF，AB=AD，∠B=∠ADE=90°，由SAS可证△ABF≌△ADE，然后由全等三角形的对应角相等可得：∠BAF=∠DAE，从而求出∠BAF的度数，最后根据∠EAF=∠BAD-（∠BAF+∠DAE）即可求出∠EAF的度数．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵CE=CF，
∴∠FEC=∠EFC=

180°-∠BCD

2

=45°，
故答案为：45；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCG=90°，
∴∠CEG+∠G=90°，
∵∠CEG+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠G，
在△CEG与△CFD中，

∠CDF=∠G ∠DCF=∠GCE CE=CF

，
∴△CEG≌△CFD（AAS）．
∴EG=FD；
（3）解：依题意设∠AED=6x，∠G=3x，∠DFE=2x
则∠CDF=∠G=3x，
∵∠CDF+∠DFE=∠FEC，
∴3x+2x=45°，
∴x=9°，
∴∠AED=54°，
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-54°=36°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，BC=DC=AB=AD，
又∵CE=CF，
∴BF=DE，
在△ABF和△ADE中，

AB=AD ∠B=∠ADE BF=DE

，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴∠BAF=∠DAE=36°，
∴∠EAF=∠BAD-（∠BAF+∠DAE）=90°-72°=18°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是：明确判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．