Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AD的中点，以EC为边作正方形CEFG，则点D与点F之间的距离等于________

Answer 1

【答案】或

【解析】

可分两种情况讨论：①当正方形CEFG在CE的右侧时，如图，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，通过证明△EFH≌△CED求出DH、HF的值，再根据勾股定理求解即可；②当正方形CEFG在CE的左侧时，如图，过点F作FH⊥DA，交DA的延长线于点H，通过证明△EFH≌△CED求出DH、HF的值，再根据勾股定理求解即可.

可分当正方形CEFG在CE的右侧和左侧两种情况讨论：

①当正方形CEFG在CE的右侧时，如图，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于点H，

∵E是AD的中点，

∴DE= AD=1，

∵∠FEC=∠ADC=90°，

∴∠FEH+∠CED=∠CED+∠DCE=90°，

∴∠FEH=∠DCE，

∵∠EHF=∠CDE=90°，CE=EF，

∴△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=DE=1，HE=CD=2，

∴HD=1，

∴；

②当正方形CEFG在CE的左侧时，如图，过点F作FH⊥DA，交DA的延长线于点H，

∵E是AD的中点，

∴AE= AD=1，

∵∠FEC=∠CDE=90°，

∴∠FEH+∠CED=∠CED+∠DCE=90°，

∴∠FEH=∠DCE，

∵∠EHF=∠CDE=90°，CE=EF，

∴△EFH≌△CED（AAS），

∴FH=DE=1，HE=CD=2，

∴HD=HE+DE=3，

∴；

故答案为：或．