【题目】如图, 在东西方向的海岸线MN上有A,B两港口,海上有一座小岛P,渔民每天都乘轮船从A,B 两港口沿AP,BP的路线去小岛捕鱼作业.已知小岛P在A港的北偏东60°方向,在B港的北偏西45°方向,小岛P距海岸线MN的距离为30海里.
(1)求AP,BP的长(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2);
(2)甲、乙两船分别从A,B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业,甲船比乙船晚到小岛24分钟.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时?
【答案】(1)AP=60海里,BP=42(海里);(2)甲船的速度是24海里/时,乙船的速度是20海里/时
【解析】
(1)过点P作PE⊥AB于点E,则有PE=30海里,由题意,可知∠PAB=30°,∠PBA=45°,从而可得 AP=60海里,在Rt△PEB中,利用勾股定理即可求得BP的长;
(2)设乙船的速度是x海里/时,则甲船的速度是1.2x海里/时,根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程,求解后进行检验即可得.
(1)如图,过点P作PE⊥MN,垂足为E,
由题意,得∠PAB=90°-60°=30°,∠PBA=90°-45°=45°,
∵PE=30海里,∴AP=60海里,
∵PE⊥MN,∠PBA=45°,∴∠PBE=∠BPE= 45°,
∴PE=EB=30海里,
在Rt△PEB中,BP==30≈42海里,
故AP=60海里,BP=42(海里);
(2)设乙船的速度是x海里/时,则甲船的速度是1.2x海里/时,
根据题意,得,
解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,
甲船的速度为1.2x=1.2×20=24(海里/时).,
答:甲船的速度是24海里/时,乙船的速度是20海里/时.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数与一次函数交于第二、四象限的,两点,过点作轴于点,,,点的坐标为.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出的自变量的取值范围.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(2,0),C三点.直线y=mx+交抛物线于A,Q两点,点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点,作PF⊥x轴,垂足为F,交AQ于点N.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,当点P运动到什么位置时,线段PN=2NF,求出此时点P的坐标;
(3)如图②,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,点M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(2,0),点B(0,2),动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动,同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F
(1)求∠OAB度数;
(2)当t为何值时,四边形ADEF为菱形,请求出此时二次函数解析式;
(3)是否存在实数t,使△AGF为直角三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与CD是水平的,BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为___________cm
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是( )
A. 6 B. 10 C. 2 D. 2
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC是直径,点D是AC延长线上一点,且∠DBC=∠BAC,.
(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)求的值;(3)如图,直径AC=5,,求△ABF面积.
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【题目】有以下六个命题,①同旁内角互补;②若x2=4,则x=2;③;④平分弦的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆心角相等;⑥相等的圆心角所对的弧相等.从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为_____.
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