Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O（0，0），M（1，1）和N（n，0）（n≠0）三点．
（1）若该函数图象顶点恰为点M，写出此时n的值及y的最大值；
（2）当n=-2时，确定这个二次函数的解析式，并判断此时y是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，n的取值变化，会影响该函数图象的开口方向．请你求出n满足什么条件时，y有最小值？

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）M点为顶点，则O、N关于x=1对称，M点为最大值点，由此得出答案；
（2）由于抛物线的图象经过原点，故c=0；将M、N两点坐标代入y=ax²+bx联立求解，并由解出的a值判断是否有最大值；
（3）将M、N两点坐标代入y=ax²+bx联立得出含a、n的方程，由a＞0确定n满足的条件．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性可知n=2；
y的最大值为1．

（2）由题意得：

a+b=1 4a-2b=0

，
解这个方程组得：

a= 1 3 b= 2 3

；
故这个二次函数的解析式为y=

1

3

x²+

1

3

x；
∵

1

3

＞0，
∴y没有最大值；

（3）由题意得：

a+b=1 an2+bn=0

，
整理得：an²+（1-a）n=0，即n（an+1-a）=0；
∵n≠0，
∴an+1-a=0；
故（1-n）a=1，而n≠1；
若y有最小值，则需a＞0，
∴1-n＞0，即n＜1；
∴n＜1且n≠0时，y有最小值．

点评：此题主要考查了抛物线的性质、二次函数图象与系数的关系等重要知识点，难度适中．