Question

如图（a），正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象经过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=-

1

2

x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标．
（3）如图（b），在（1）的条件下，在反比例函数的图象上是否存在一点P，使得∠POE=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=-

1

2

x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）设P（a，b），作EM⊥x轴于M，EN⊥OP于N，PF⊥x轴于FEM交OP于G，先求出OE、EN，再证明△EGN∽△OGM，得出比例式，求出EG：OG=5

2

：6，设EG=5

2

x，则OG=6x，在Rt△OGM中，根据勾股定理得：OM²+GM²=OG²，求出x，得出GM，再根据三角函数求出a=7b，又有ab=12，即可求出a、b的值，得出P的坐标．

解答： 解：（1）设反比例函数的解析式y=

k

x

，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴4=

k

3

，即k=12．
∴反比例函数的解析式y=

12

x

；
（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）．
∵点D在直线y=-

1

2

x+b上，
∴3=-

1

2

×4+b，解得b=5．
∴直线DF为y=-

1

2

x+5，
将y=4代入y=-

1

2

x+5，得4=-

1

2

x+5，解得x=2．
∴点F的坐标为（2，4）；
（3）存在；
设P（a，b），作EM⊥x轴于M，EN⊥OP于N，PF⊥x轴于FEM交OP于G；如图所示：
则∠ONE=∠OME=∠OFP=90°，
根据题意得：AE=OM=3，OA=EM=4，
∴OE=

32+42

=5，
∵∠POE=45°，
∴EN=

5

2

=

5 2

2

，
又∵∠OGM=∠EGN，
∴△EGN∽△OGM，
∴

EG

OG

=

EN

OM

=

5 2 2

3

=

5 2

6

，
设EG=5

2

x，则OG=6x，GM=4-5

2

x，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得：
OM²+GM²=OG²，
即3²+(4-5

2

x)2=（6x）²，
解得：x=

5 2

14

，或x=

5 2

2

（不合题意，舍去），
∴GM=4-5

2

×

5 2

14

=

3

7

，
∴tan∠POF=

PF

OF

=

GM

OM

，
即

b

a

=

3 7

3

=

1

7

，
∴a=7b，又∵ab=12，
解得：a=2

21

，b=

2 21

7

，
∴点P坐标为（2

21

，

2 21

7

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等相关知识，难度较大，综合性强，有利于培养学生综合运用知识推理、计算能力和探究精神．