Question

19．在正方形ABCD中，DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G作PG⊥DE于点P，连接CP，过点D作DQ⊥PC于点Q，交射线PG于点H．

（1）如图1，若点G与点A重合．
①依题意补全图1；
②判断DH与PC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点H恰好在线段AB上，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）．

Answer 1

分析 （1）①依题意补全图形即可；
②由正方形的性质和角平分线得出∠EDF=∠ADE=45°，证出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，由ASA证明△HAD≌△PDC，得出对应边相等即可；
（2）思路如下：a、与②同理可证∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可证△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，可设DP=PG=x，则GD=$\sqrt{2}$x，AG=1-$\sqrt{2}$x，易证△AGH为等腰直角三角形，则GH=$\sqrt{2}$-2x；c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的长．

解答 解：（1）①依题意补全图1，如图1所示：
②DH=PC，理由如下：
∵DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，
∴∠EDF=∠ADE=45°，
∵PG⊥DE于点P，
∴∠DAP=45°，
∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，
∴∠HAD=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，
∵DQ⊥PC，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∵∠ADQ+∠CDQ=90°，
∴∠ADQ=∠DCQ，
在△HAD和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAD=∠PDC}\\{AD=CD}\\{∠ADQ=∠DCQ}\end{array}\right.$，
∴△HAD≌△PDC（ASA），
∴DH=CP；
（2）求DP长的思路如下：如图2所示：
a、与②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，
∴△HGD∽△PDC；
b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，
∴∠AGH=∠PGD=45°，
∴△AGH为等腰直角三角形，
设DP=PG=x，则GD=$\sqrt{2}$x，AG=1-$\sqrt{2}$x，GH=$\sqrt{2}$-2x；
c、由△HGD∽△PDC得：$\frac{GH}{DP}=\frac{GD}{DC}$，
即$\frac{\sqrt{2}-2x}{x}$=$\frac{\sqrt{2}x}{1}$，
解得：x=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$（负值舍去），
∴DP=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．