Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.

【解析】

(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．

解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，

∴点O为BD的中点，

∵点E为AD中点，

∴OE为△ABD的中位线，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形

∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．

(2)∵点E为AD的中点，AD=10，

∴AE=

∵∠EFA=90°，EF=4，

∴在Rt△AEF中，．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=10，

∴OE=AB=5，

∵四边形OEFG为矩形，

∴FG=OE=5，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．

故答案为：OE=5，BG=2．