Question

【题目】如图，在△ABC 中，AB =AC，点D在BC上，点F在BA的延长线上，FD =FC，点E是AC与DF的交点，且ED =EF，FG∥BC交CA的延长线于点G．

(1)∠BFD =∠GCF 吗?说明理由；

(2)求证：△GEF ≌△CED；

(3)求证：BD =DC．

Answer 1

【答案】（1）∠BFD=∠GCF，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据AB=AC得出∠B=∠BCA，再利用FD=FC得出∠FDC=∠DCF，最后结合三角形外角性质进一步证明即可；

（2）利用平行线性质得出∠GFE=∠CDE，然后结合题意根据“ASA”进一步证明结论即可；

（3）首先根据题意得出∠B=∠G，然后进一步证明△GFC△BDF，由此得出GF=BD，再根据△GEF△CED得出GF=CD，据此进一步证明结论即可.

（1）∠BFD=∠GCF，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠BCA，

∵FD=FC，

∴∠FDC=∠DCF，

∵∠BFD=∠FDC∠B，∠GCF=∠DCF∠BCA，

∴∠BFD=∠GCF；

（2）∵FG∥BC，

∴∠GFE=∠CDE，

在△GEF和△CED中，

∵∠GFE=∠CDE，ED=EF，∠FEG=∠DEC，

∴△GEF△CED（ASA）；

（3）∵FG∥BC，

∴∠G=∠BCA，

∵∠B=BCA，

∴∠B=∠G，

在△GFC和△BDF中，

∵∠B=∠G，∠BFD=∠GCF，FD=FC，

∴△GFC△BDF（AAS），

∴GF=BD，

∵△GEF△CED，

∴GF=CD，

∴BD=DC．