Question

【题目】如图，已知直线l：y＝﹣x+8交x轴于点E，点A为x轴上的一个动点（点A不与点E重合），在直线l上取一点B（点B在x轴上方），使BE＝5AE，连接AB，以AB为边沿顺时针方向作正方形ABCD，连结OB，以OB为直径作⊙P．

（1）当点A在点E右侧时．

①若点B刚好落在y轴上，则线段BE的长为　 ，点D的坐标为　 　．

②若点A的坐标为（9，0），求正方形ABCD的边长．

（2）⊙P与正方形ABCD的边相切于点B，求点B的坐标．

（3）点Q为⊙P与直线BE的交点，连接CQ，当CQ平分∠BCD时，点B的坐标为　 　．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）①BE＝10，D（16，8）；②12；（2）点B的坐标为（﹣12，24）或（，）；（3）B（﹣，）．

【解析】

（1）①利用勾股定理求出BE即可，证明和都是等腰直角三角形即可解决问题；

②如图2中，作BH⊥x轴于H，求出点B的坐标，利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图3中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，即可求出.

如图4中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．设AE＝m，则BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，证明是等腰直角三角形，即可解决问题；

（3）如图5中，如图作BH⊥x轴于H．连接OQ．设AE＝k，则BE＝5k，BH＝4k，EH＝3k，求得直线OQ的解析式，再求得直线l与直线OQ的交点Q的坐标，利用平行分线段成比例，即可解决问题.

解：（1）①如图1中，作DG⊥x轴于G．

由题意：E（6，0），B（0，8），

∴OE＝6，OB＝8，

∴BE＝＝10，

∵BE＝5AE，

∴AE＝2，

∴OA＝8，

∴OB＝OA＝8，

∵AB＝AD＝8，∠BAD＝90°，

∴∠BAO＝∠DAG＝45°，

∵DG⊥AG，

∴DG＝AG＝8，

∴OG＝16，

∴D（16，8），

②如图2中，作BH⊥x轴于H．

∵A（9，0），

∴OA＝9，

∵OE＝6，

∴AE＝3，

∵BE＝5AE，

∴BE＝15，

∵BH：EH＝4：3，

∴BH＝12，EH＝9，

∴AH＝12，

∴AB＝＝12 ．

（2）如图3中，当点A与原点O重合时，⊙P与BC相切于点B，AE＝6，

∵BE＝5AE，

∴BE＝30，可得B（﹣12，24）．

如图4中，当OB⊥AB时，⊙P与AB相切于点B，作BH⊥OA于H．

设AE＝m，则BE＝5m，BH＝4m，EH＝3m，

∴BH＝AH＝4m，

∴∠BAO＝45°，

∵∠OBA＝90°，

∴∠BOA＝45°，

∴点B的横坐标与纵坐标相同，可得B（，），

综上所述，满足条件的点B的坐标为（﹣12，24）或（，）．

（3）如图5中，如图作BH⊥x轴于H．连接OQ．设AE＝k，则BE＝5k，BH＝4k，EH＝3k，

∴AH＝2k，

可得B（6﹣3k，4k），C（k+6，6k），A（6﹣k，0），

∵OQ⊥BE，

∴直线OQ的解析式为：y＝ x，

由 ，解得 ，

∴Q（， ），

∴CQ平分∠BCD，

∴A，C，Q共线，

∴，

解得k＝ ，

∴B（ ，）．