Question

如图，抛物线y＝(x－3)²－1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）试求点A、B、D的坐标；

（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD于点H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE、AD.求证：∠AEO＝∠ADC；  

（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标.

 

Answer 1

解：（1）由y＝0得(x－3)²－1＝0，解得x₁＝3－，x₂＝3＋，又点A在点B的左侧，∴A点坐标为（3－，0），B点坐标为（3＋，0），由抛物线解析式y＝(x－3)²－1可得顶点D的坐标为（3，﹣1）.

（2）如下图，过点D作DG⊥y轴于点G，∵∠DCG＝∠EOM，∠CGD＝∠OME＝90°，∴△CDG∽△OEM，∴,即，∴解得EM＝2，∴E点坐标为（3,2），ED＝2＋1＝3，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²＝EM²＋AM²＝2²＋[3－（3－）]²＝6，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD²＝DM²＋AM²＝1²＋[3－（3－）]²＝3，∴AE²＋AD²＝6＋3＝9＝3²＝ED²，∴△AED是直角三角形，即∠DAE＝90°.设AE交CD于点F，∴∠ADC＋∠AFD＝90°，又∵∠AEO＋∠HFE＝90°，∠AFD＝∠HFE，∴∠AEO＝∠ADC.

（3）如下图，由⊙E的半径为1，由勾股定理得PQ²＝EP²－1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP²最小.设P点坐标为（x，y）,则PQ＝x－3，EQ＝2－y，∴由勾股定理得EP²＝（x－3）²＋（2－y）²，∵y＝(x－3)²－1，∴（x－3）²＝2y＋2，∴EP²＝2y＋2＋y²－4y＋4＝（y－1）²＋5，当y＝1时，EP²最小值为5.把y＝1代入y＝(x－3)²－1得(x－3)²－1＝1，解得x₁＝1，x₂＝5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x₁＝1不合题意，舍去，∴点P的坐标为（5，1）.