Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

• A． $\frac{6}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由轴对称的性质可知：PC=PC′，所以QP+PC=QP+PC′，由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可其肚饿QC′的长．

解答 解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′Q⊥AC．

∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ACD与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′=AC=3，．PC=PC′．
∴QP+PC=QP+PC′．
由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值．
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$．
在Rt△AQC′中，sin∠QAC′=$\frac{QC′}{AC′}=\frac{4}{5}$，即$\frac{QC′}{3}=\frac{4}{5}$．
∴QC′=$\frac{12}{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，明确当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值是解题的关键．