Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.

(1)求证：点D是AB的中点.

(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.

(3)若⊙O的半径为5，AB=12，求DE的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)DE与⊙O相切，证明见解析；(3)DE=4.8.

【解析】

（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得：CD⊥AB，再根据三线合一即可证出；

（2）连接OD，根据中位线的性质可得：OD∥AC，再根据平行线的性质可得OD⊥DE，从而证出DE与⊙O相切；

（3）过点D作DF⊥BC于F，由三线合一可知：CD平分∠ACB，BD=AB=6，根据勾股定理可求出CD，根据△BDC的面积的两种求法列方程，即可求出DF，从而求出DE.

解：(1)连接CD

∵BC为⊙O的直径

∴CD⊥AB

∵BC=AC

∴AD=BD

即点D是AB的中点

(2) DE与⊙O相切 ，理由如下

连接OD

∵AD=BD，OB=OC

∴OD∥AC

∵DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴DE与⊙O相切

(3)过点D作DF⊥BC于F，

∵BC=AC，CD⊥AB

∴CD平分∠ACB，BD=AB=6

∴DE=DF

∵⊙O的半径为5

∴BC=10

根据勾股定理可得：CD=

∵S△BDC=BD·CD=BC·DF

∴×6×8=×10·DF

解得：DF=4.8

∴DE= DF=4.8