如图1.在△ABC中.AB=AC=8cm.BC=6cm.D为AB中点.点P在AC上从C向A运动.运动速度为2,同时.点Q在BC上从B向C运动.设点Q的运动速度为x．且设P.Q的运动时间均为t秒.若其中一点先到达终点.则另一个点也将停止运动．(1)如图2.当PD∥BC时.请解决下列问题:①t=2,②△ADP的形状为等腰三角形,③若此时恰好有△BDQ≌△CPQ.请求出点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．如图1，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动，运动速度为2（cm/s）；同时，点Q在BC上从B向C运动，设点Q的运动速度为x（cm/s）．且设P，Q的运动时间均为t秒，若其中一点先到达终点，则另一个点也将停止运动．

（1）如图2，当PD∥BC时，请解决下列问题：
①t=2；
②△ADP的形状为等腰三角形（按“边”分类）；
③若此时恰好有△BDQ≌△CPQ，请求出点Q运动速度x的值；
（2）当PD与BC不平行时，也有△BDQ与△CPQ全等：
①请求出相应的t与x的值；
②若设∠A=α°，请直接写出相应的∠DQP的度数（用含α的式子表示）．

分析（1）①根据三角形中位线的性质得到当P为AC的中点时，PD∥BC，求出AP，即可解答；
②△ADP的形状为等腰三角形，证明AD=AP，即可解答；
③根据全等三角形的对应边相等，得到BQ=CQ，即可解答；
（2）①求出BD，根据全等得出要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，得出方程12=16-4x或4x=16-4x，求出方程的解即可；
②先利用定义三角形的性质求出∠B的性质，再由△BDQ与△CPQ全等，∠BDQ=∠PQC，由∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，得到∠DQB=∠B，即可解答．

解答解：（1）①∵PD∥BC，D为AB中点，
∴点P为AC的中点，
∴AP=CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8$=4cm，
∴t=4÷2=2．
故答案为：2；
②∵D为AB中点，点P为AC的中点，AB=AC，
∴AD=AP，
∴△ADP为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
③如图2，

∵△BDQ≌△CPQ，
∴BQ=CQ，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×6$=3cm，
∴点Q运动速度x的值为：3÷2=1.5（cm/s）；
（2）如图3，

设经过t秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=12，点D为AB的中点，
∴BD=6，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即6=8-2t或2t=8-2t，
t₁=1，t₂=2，
t=1时，BP=CQ=2，2÷1=2；
t=2时，BD=CQ=6，6÷2=3；
∴当t=1时，x=2；当t=2时，x=3．
②∵AB=AC，∠A=α°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-α°}{2}$，
∵△BDQ与△CPQ全等，
∴∠BDQ=∠PQC，
∵∠B+∠BDQ+∠BQD=180°，
∠DQP+∠PQC+∠BQD=180°，
∴∠DQB=∠B=$\frac{180°-α°}{2}=（90-\frac{α}{2}）°$．

点评本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用△BDQ与△CPQ全等得到对应边相等、对应角相等．

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