Question

【题目】如图，在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

如图1，若，求证：；

如图2，在绕点D旋转的过程中：

探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；

若，，求DN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；②

【解析】分析：（1）根据已知不难得到△ABC是等腰直角三角形，再结合旋转的性质，不难推出△DCE≌△DCF；

（2）①首先利用角的关系推理可得到∠F=∠CDE，结合图形可得到△CDF∽△CED，再根据相似的性质，以及线段的等量代换，即可得解；②过点D作DG⊥BC于G，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，结合①中的结论可得到CD的长，再利用三角函数得到CG和DG的长，接下来通过证明△CEN∽△GDN，可求出GN的长，最后利用勾股定理即可得解.

详解：证明：，，，

，，

，

在与中，，

≌，

；

解：，

，

，

，

∽，

，

即，

，，，

，

；

如图，过D作于G，

则，，

当，时，

由得，

在中，，

，，

∽，

，

，

．