Question

【题目】已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：抛物线的顶点坐标是（　　，　　），对称轴是　 　；

（2）如图1，已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）如图，在第二问的基础上，在抛物线上有一点C（x，y），连接AC、OC、BC、PC，当△OAC的面积等于△BCP的面积时，求C的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）（2）（2，4）（3）

【解析】分析：

（1）由二次函数的图象和性质进行解答即可；

（2）由△PAB是等边三角形，PB⊥x轴易得∠ABO=30°，结合∠AOB=90°，AO=2可得AB=4，OB= ，由此可得点P的坐标为；

（3）如下图2所示，设点C的坐标为（x，y），则S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），由S△AOC=S△BCP列出方程，解方程即可求得点C的坐标.

详解：

（1）∵ 抛物线的顶点坐标为（0，k），对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）；

（2）∵△PAB是等边三角形，PB⊥x轴于点B，

∴∠APB=60°，∠OBP=90°，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=2OA=4．

∴PB=4，

∴P（2，4），

∵在中，当时，，

∴点P（2，4）在抛物线上，

∴符合要求的点P的坐标为（2，4）；

（3）下图2所示，设点C的坐标为（x，y），则S△AOC=AO·x，S△BCP=PB·（），

∵S△AOC=S△BCP，OA=2，PB=4，

∴ ，

解得： ，

∴C的横坐标是 .